Matematik Formülleri

1. Üçgenin Alan Formülü

Formül:
Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}Alan=21​⋅taban⋅yu¨kseklik
Açıklama: Bir üçgenin alanını bulmak için bir kenarını (tabanı) ve bu kenara ait yüksekliği bilmen yeterlidir. Eğer kenar uzunluklarını biliyorsan ve bir açı verilmişse, şu formülü de kullanabilirsin:
Alan=12⋅a⋅b⋅sin⁡(θ)\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)Alan=21​⋅a⋅b⋅sin(θ)
Burada aaa ve bbb, bilinen iki kenar uzunluğu, θ\thetaθ ise bu iki kenar arasındaki açıdır.

2. Dik Üçgenlerde Pisagor Teoremi

Formül:
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2
Açıklama: Dik üçgenlerde iki dik kenarın karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu formülü kullanarak eksik olan kenar uzunluklarını bulabilirsin. Örneğin, bir kenar 333, diğeri 444 ise hipotenüs:
c=32+42=5c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5c=32+42​=5

3. Çarpanlara Ayırma Formülleri

a. İki Kare Farkı:
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)a2−b2=(a−b)(a+b)
b. Tam Kare Açılımları:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2
Açıklama: Bu formüller, çarpanlara ayırma ve denklem çözümünde çok işine yarar. Özellikle parantez açma veya sadeleştirme işlemleri sırasında sıkça kullanılır.

4. Fonksiyonlarda Doğru Denklemi

Formül:
y=mx+ny = mx + ny=mx+n
Açıklama: Bu, bir doğrunun genel denklemidir. Burada:
mmm: Doğrunun eğimi (yani eğikliği).
nnn: Doğrunun yyy-ekseni üzerindeki kesişim noktasıdır. Bir doğru çizmek veya grafiği incelemek için bu denklemi bilmen önemli.

5. Trigonometri Temel Oranları

Formüller:
sin⁡(θ)=kars¸ı kenarhipotenu¨s\sin(\theta) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}sin(θ)=hipotenu¨skars¸​ı kenar​ cos⁡(θ)=koms¸u kenarhipotenu¨s\cos(\theta) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}cos(θ)=hipotenu¨skoms¸​u kenar​ tan⁡(θ)=kars¸ı kenarkoms¸u kenar\tan(\theta) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}tan(θ)=koms¸​u kenarkars¸​ı kenar​
Açıklama: Bu oranlar, dik üçgenlerde açıları ve kenar uzunluklarını bulmak için kullanılır. Trigonometri, geometrik hesaplamalarda temel bir konudur.

6. İkinci Dereceden Denklemlerin Çözümü

Formül:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​
Açıklama: Bu, ikinci dereceden bir denklemin (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0) köklerini bulmak için kullanılan bir formüldür. Kökler, denklemin grafiğinin xxx-ekseniyle kesiştiği noktaları verir. Diskriminant (b2−4acb^2 - 4acb2−4ac) sayesinde denklemin kaç farklı çözümü olduğunu da anlayabilirsin:
b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0b2−4ac>0: İki gerçek kök.
b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0b2−4ac=0: Çift kat kök.
b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0b2−4ac<0: Reel kök yok.

7. Permütasyon ve Kombinasyon

a. Permütasyon (Sıralama):
P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}P(n,r)=(n−r)!n!​
b. Kombinasyon (Seçim):
C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}C(n,r)=r!(n−r)!n!​
Açıklama: Permütasyon, sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır. Kombinasyon ise sıralamanın önemi olmadığı, yalnızca seçimin önemli olduğu durumlarda işine yarar. Örneğin, bir sınıftan 3 kişilik bir grup oluşturmak kombinasyonla, başkan-vekili seçmek ise permütasyonla hesaplanır.

8. Logaritma Kuralları

Formüller:
log⁡a(mn)=log⁡a(m)+log⁡a(n)\log_a(mn) = \log_a(m) + \log_a(n)loga​(mn)=loga​(m)+loga​(n) log⁡a(mn)=log⁡a(m)−log⁡a(n)\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a(m) - \log_a(n)loga​(nm​)=loga​(m)−loga​(n) log⁡a(mk)=k⋅log⁡a(m)\log_a(m^k) = k \cdot \log_a(m)loga​(mk)=k⋅loga​(m)
Açıklama: Logaritma işlemleri genelde karmaşık işlemleri sadeleştirmek için kullanılır. Özellikle büyüklük hesaplamalarında (örneğin deprem şiddeti veya ses seviyesi) sıkça karşına çıkabilir.

9. Dönüşüm Geometrisi (Çember ve Daire Formülleri)

Çemberin Denklemi:
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
Dairenin Alanı:
Alan=πr2\text{Alan} = \pi r^2Alan=πr2
Dairenin Çevresi:
C¸evre=2πr\text{Çevre} = 2\pi rC¸​evre=2πr
Açıklama: Çemberin denklemi, merkez (a,b)(a, b)(a,b) ve yarıçap rrr verilmişse çemberin tüm noktalarını tanımlar. Dairenin alanı ve çevresi formüllerini ise geometrik problemlerde sıkça kullanırsın.

10. Aritmetik ve Geometrik Diziler

Aritmetik Dizi:
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)dan​=a1​+(n−1)d
Geometrik Dizi:
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}an​=a1​⋅rn−1
Açıklama:
Aritmetik dizi: Her terimin bir önceki terime sabit bir sayı (ddd) eklenerek oluşturulduğu dizilerdir.
Geometrik dizi: Her terimin bir önceki terime sabit bir oran (rrr) ile çarpılarak oluşturulduğu dizilerdir.

11. Küre, Silindir ve Koninin Hacim ve Yüzey Alanı

a. Kürenin Hacmi ve Yüzey Alanı
Hacim:
V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3V=34​πr3
Yüzey Alanı:
A=4πr2A = 4 \pi r^2A=4πr2
Açıklama: Kürenin hacmi, yarıçapının küpü ile doğru orantılıdır. Yüzey alanı ise kürenin dış kısmını kaplayan alanı ifade eder. Bu formüller fizik ve mühendislikte de çok kullanılır.
b. Silindirin Hacmi ve Yüzey Alanı
Hacim:
V=πr2hV = \pi r^2 hV=πr2h
Yüzey Alanı:
A=2πrh+2πr2A = 2 \pi r h + 2 \pi r^2A=2πrh+2πr2
Açıklama: Silindirin hacmi, taban alanının yüksekliğiyle çarpılmasıyla bulunur. Yüzey alanında ise yan yüzey ve iki tabanın alanları hesaplanır.
c. Koninin Hacmi ve Yüzey Alanı
Hacim:
V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 hV=31​πr2h
Yüzey Alanı:
A=πr(r+l)A = \pi r (r + l)A=πr(r+l)
Açıklama: Koninin hacmi, silindirin hacminin üçte biridir. Burada lll, koninin yan yüzeyinin uzunluğudur (ana doğru).

12. Temel İstatistik Formülleri

a. Ortalama (Aritmetik Ortalama)
Formül:
Ortalama=Tu¨m Verilerin ToplamıVeri Sayısı\text{Ortalama} = \frac{\text{Tüm Verilerin Toplamı}}{\text{Veri Sayısı}}Ortalama=Veri SayısıTu¨m Verilerin Toplamı​
Açıklama: Bir veri grubunun ortalamasını hesaplamak için tüm verileri toplar ve toplamı veri sayısına bölersin.
b. Medyan
Tanım: Bir veri setindeki sayılar sıralandığında ortada kalan sayıdır. Eğer veri sayısı çiftse, ortadaki iki sayının ortalaması medyandır.
c. Standart Sapma
Formül:
s=∑(xi−μ)2ns = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}s=n∑(xi​−μ)2​​
Açıklama: Standart sapma, verilerin ortalamaya olan uzaklıklarının ölçüsüdür. Daha büyük bir standart sapma, verilerin daha geniş bir aralıkta dağıldığını gösterir.

13. Parabol ve Tepe Noktası

Bir parabolun genel denklemi şu şekildedir:
y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c
Tepe Noktası:
Formüller: Tepe noktasının xxx-koordinatı:
x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​
yyy-koordinatını bulmak için bu xxx değerini denkleme yerleştirirsin. Açıklama: Parabolün tepe noktası, grafiğin en yüksek veya en düşük noktasıdır. Grafik çizimi ve maksimum-minimum problemlerinde bu nokta çok işine yarar.

14. Mutlak Değer Kuralları

Temel Tanım: Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığıdır.
∣a∣={a,eg˘er a≥0−a,eg˘er a<0|a| = \begin{cases} a, & \text{eğer } a \geq 0 \\ -a, & \text{eğer } a < 0 \end{cases}∣a∣={a,−a,​eg˘​er a≥0eg˘​er a<0​
Eşitsizliklerde Mutlak Değer:
Eğer ∣x∣−aEğer ∣x∣>a|x| > a∣x∣>a ise:
x<−a veya x>ax < -a \text{ veya } x > ax<−a veya x>a
Açıklama: Mutlak değer, özellikle eşitsizliklerde ve mesafe hesaplamalarında çok kullanılır.

15. Çemberin Analitik Geometrisi

Çemberin Genel Denklemi:
(x−a)2+(y(x - a)^2 + (y(x−a)2+(y

15. Çemberin Analitik Geometrisi (Devam)

Çemberin Genel Denklemi:
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
Açıklama: Bu denklemde:
(a,b)(a, b)(a,b), çemberin merkezinin koordinatlarıdır.
rrr, çemberin yarıçapıdır. Eğer çemberin merkezi orijinde ise denklem şu hale gelir:
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2x2+y2=r2
Bu denklem, çemberin üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını bulmak için kullanılır.

16. Diferansiyel ve Türev Formülleri

a. Temel Türev Kuralları:
ddx[c]=0(sabitin tu¨revi sıfırdır)\frac{d}{dx}[c] = 0 \quad \text{(sabitin türevi sıfırdır)}dxd​[c]=0(sabitin tu¨revi sıfırdır) ddx[xn]=n⋅xn−1\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}dxd​[xn]=n⋅xn−1 ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)dxd​[sin(x)]=cos(x) ddx[cos⁡(x)]=−sin⁡(x)\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)dxd​[cos(x)]=−sin(x) ddx[ln⁡(x)]=1x\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}dxd​[ln(x)]=x1​ ddx[ex]=ex\frac{d}{dx}[e^x] = e^xdxd​[ex]=ex
Açıklama: Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki değişim oranını veya eğimini ifade eder. Türev formüllerini fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulmak, grafiklerin eğimlerini hesaplamak ve hız-ivme problemlerinde kullanırsın.
b. Zincir Kuralı: Eğer y=f(g(x))y = f(g(x))y=f(g(x)) ise:
dydx=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)dxdy​=f′(g(x))⋅g′(x)
Açıklama: Zincir kuralı, karmaşık fonksiyonların türevini alırken kullanılır. İç içe geçmiş fonksiyonlar üzerinde çalışırken bu kurala başvurursun.

17. İntegral Formülleri

a. Belirsiz İntegral Temel Kuralları:
∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)∫xndx=n+1xn+1​+C(n=−1) ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C∫exdx=ex+C ∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C∫sin(x)dx=−cos(x)+C ∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C\int \cos(x) dx = \sin(x) + C∫cos(x)dx=sin(x)+C ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C∫x1​dx=ln∣x∣+C
Açıklama: İntegral, bir fonksiyonun alanını bulmak veya orijinal fonksiyonun nasıl bir "şekil" oluşturduğunu anlamak için kullanılır. Özellikle alan hesaplamalarında ve fiziksel problemlerde çok işine yarar.

18. Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

Logaritma Özellikleri:
log⁡a(mn)=log⁡a(m)+log⁡a(n)\log_a(mn) = \log_a(m) + \log_a(n)loga​(mn)=loga​(m)+loga​(n) log⁡a(mn)=log⁡a(m)−log⁡a(n)\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a(m) - \log_a(n)loga​(nm​)=loga​(m)−loga​(n) log⁡a(mk)=k⋅log⁡a(m)\log_a(m^k) = k \cdot \log_a(m)loga​(mk)=k⋅loga​(m) alog⁡a(x)=xa^{\log_a(x)} = xaloga​(x)=x
Açıklama: Logaritma, büyük ya da küçük sayıları sadeleştirmek için kullanılan bir araçtır. Özellikle büyüme ve azalma oranlarının analizinde kullanılır.

19. Binom Açılımı

Formül:
(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k(a+b)n=k=0∑n​(kn​)an−kbk
Açıklama: Binom açılımı, (a+b)n(a + b)^n(a+b)n şeklindeki ifadeleri açmak için kullanılır. Burada (nk)\binom{n}{k}(kn​), kombinasyonu ifade eder ve şu şekilde hesaplanır:
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​

20. Karmaşık Sayılar

Temel Kavramlar:
Karmaşık sayı: z=a+biz = a + biz=a+bi (burada i2=−1i^2 = -1i2=−1)
Karmaşık bir sayının mutlak değeri:
∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}∣z∣=a2+b2​
Açıklama: Karmaşık sayılar, reel sayıların ötesinde problemlerin çözümü için kullanılır. Özellikle elektrik devre analizi ve ileri matematikte karşına çıkar.

21. Dönüşüm Geometrisi: Matrislerle Çevirme

a. İki Boyutlu Dönüşümler (Rotasyon): Eksen etrafında saat yönünün tersine θ\thetaθ kadar döndürmek için matris:
[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}[cosθsinθ​−sinθcosθ​]
b. Yansıma Matrisleri:
xxx-ekseni etrafında yansıma:
[100−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}[10​0−1​]
Açıklama: Dönüşüm geometrisi, şekillerin yer değiştirmesi, dönmesi ve yansımasıyla ilgilenir. Bu matrisler, mühendislik ve bilgisayar grafiklerinde kullanılır.

22. Üçgen Benzerliği ve Trigonometrik Kimlikler

Trigonometrik Kimlikler:
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1sin2(x)+cos2(x)=1 1+tan⁡2(x)=sec⁡2(x)1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)1+tan2(x)=sec2(x) 1+cot⁡2(x)=csc⁡2(x)1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)1+cot2(x)=csc2(x)
Açıklama: Bu kimlikler, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve karmaşık denklemleri çözmek için kullanılır.

23. Permütasyon ve Kombinasyon İleri Kuralları

a. Daire Şeklinde Permütasyon:
P=(n−1)!P = (n-1)!P=(n−1)!
Açıklama: Eğer nnn kişi bir daire etrafında oturacaksa, bu kişilerin farklı sıralanma sayısı (n−1)!(n-1)!(n−1)! ile bulunur. Dairede başlangıç noktası sabit olduğu için bir kişi sabit tutulur ve diğer n−1n-1n−1 kişi sıralanır.
b. Tekrarlı Permütasyon:
P=n!p1!⋅p2!⋅⋯⋅pk!P = \frac{n!}{p_1! \cdot p_2! \cdot \dots \cdot p_k!}P=p1​!⋅p2​!⋅⋯⋅pk​!n!​
Açıklama: Eğer bir grup içinde tekrar eden elemanlar varsa, tekrarlı permütasyon formülü kullanılır. Burada p1,p2,…,pkp_1, p_2, \dots, p_kp1​,p2​,…,pk​, tekrar eden elemanların sayısını ifade eder.

24. Dönüşüm Matrisleri ve Ölçeklendirme

a. İki Boyutlu Ölçeklendirme: Eğer bir şekli xxx-ekseninde kxk_xkx​ ve yyy-ekseninde kyk_yky​ kadar ölçeklendirmek istiyorsak:
O¨lc¸eklendirme Matrisi=[kx00ky]\text{Ölçeklendirme Matrisi} = \begin{bmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y \end{bmatrix}O¨lc¸​eklendirme Matrisi=[kx​0​0ky​​]
b. Kaydırma (Translation): Bir noktayı (x,y)(x, y)(x,y) koordinatlarından (x+a,y+b)(x+a, y+b)(x+a,y+b) koordinatlarına taşımak için şu vektör kullanılır:
(x,y)→(x+a,y+b)(x, y) \to (x+a, y+b)(x,y)→(x+a,y+b)

25. Simetri ve Yansıma

a. Doğruya Göre Simetri: Bir noktanın y=mx+cy = mx + cy=mx+c doğrusuna göre simetrisi alınırken şu formül uygulanır: Eğer nokta (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) ise, simetri noktası:
(x′,y′)=((1−m2)x1+2my1−2mc1+m2,(m2−1)y1+2mx1+2c1+m2)(x', y') = \left(\frac{(1-m^2)x_1 + 2my_1 - 2mc}{1+m^2}, \frac{(m^2-1)y_1 + 2mx_1 + 2c}{1+m^2}\right)(x′,y′)=(1+m2(1−m2)x1​+2my1​−2mc​,1+m2(m2−1)y1​+2mx1​+2c​)
b. Orijine Göre Simetri: Eğer bir noktanın orijine göre simetrisi alınacaksa, (x,y)→(−x,−y)(x, y) \to (-x, -y)(x,y)→(−x,−y) dönüşümü yapılır.

26. Parabol ve Odak

Parabol Denklemi (Odak ve Doğru Parçası ile): Bir parabolun odak noktası (h,k+p)(h, k+p)(h,k+p) ve doğru parçası y=k−py = k-py=k−p ise, parabolun denklemi:
(x−h)2=4p(y−k)(x-h)^2 = 4p(y-k)(x−h)2=4p(y−k)
Açıklama: Bu formül, parabolun odak ve doğru parçasına göre nasıl çizileceğini anlamanı sağlar. ppp, odak ile doğru parçası arasındaki mesafedir.

27. Konikler: Hiperbol

Hiperbolün Standart Denklemi: Merkezi orijinde ve yatay eksende açılan hiperbol:
x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1a2x2​−b2y2​=1
Merkezi orijinde ve dikey eksende açılan hiperbol:
y2a2−x2b2=1\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1a2y2​−b2x2​=1
Açıklama: Bu formüller, hiperbolün şekli, merkez, odak noktaları ve asimptotları hakkında bilgi verir.

28. Diziler ve Seriler

a. Harmonik Ortalama: Eğer a,b,ca, b, ca,b,c ardışık harmonik bir dizi oluşturuyorsa:
b=2aca+cb = \frac{2ac}{a+c}b=a+c2ac​
b. Aritmetik ve Geometrik Orta İlişkisi: Aritmetik ortalama (AO) ve geometrik ortalama (GO) arasındaki ilişki:
AO≥GOAO \geq GOAO≥GO

29. Karmaşık Sayılarda Kuvvet ve Kök

a. Karmaşık Sayının Kuvveti (De Moivre Teoremi): Bir karmaşık sayı z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r (\cos\theta + i\sin\theta)z=r(cosθ+isinθ) ise:
zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))
b. Karmaşık Sayının Kökleri: Bir karmaşık sayının nnn-inci dereceden kökleri:
zk=r1/n(cos⁡(θ+2kπn)+isin⁡(θ+2kπn)),k=0,1,…,n−1z_k = r^{1/n} \left(\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1zk​=r1/n(cos(nθ+2kπ​)+isin(nθ+2kπ​)),k=0,1,…,n−1
Açıklama: Bu formüller, karmaşık sayıların dönüşüm ve analizi için önemlidir. Özellikle ileri düzey matematikte ve mühendislikte karşına çıkar.

30. Belirsizlikler ve Limitler

a. L'Hôpital Kuralı: Eğer bir limit şu formda ise:
lim⁡x→cf(x)g(x)=00 veya ∞∞\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \text{ veya } \frac{\infty}{\infty}x→clim​g(x)f(x)​=00​ veya ∞∞​
Kural uygulanır:
lim⁡x→cf(x)g(x)=lim⁡x→cf′(x)g′(x)\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}x→clim​g(x)f(x)​=x→clim​g′(x)f′(x)​
b. Sonsuz Küçük ve Sonsuz Büyük Limitler:
lim⁡x→∞1xn=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0x→∞lim​xn1​=0 lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\inftyx→0+lim​ln(x)=−∞
Açıklama: L'Hôpital kuralı ve bu limit ilişkileri, belirsizlik içeren problemlerin çözümünde kullanılır.

31. Fraktallar ve Sonsuzluk

Mandelbrot Kümesi Denklemi: Bir noktanın fraktalın parçası olup olmadığını test etmek için şu tekrar eden denklem kullanılır:
zn+1=zn2+cz_{n+1} = z_n^2 + czn+1​=zn2​+c
Eğer ∣zn∣|z_n|∣zn​∣, sonsuza gitmiyorsa, o nokta fraktalın parçasıdır.
Açıklama: Bu, daha soyut bir konsepttir ve grafik tasarımı, kaos teorisi gibi ileri matematik alanlarında kullanılır.
a. Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi ve Yüzey Alanı
Hacim:
V=a⋅b⋅hV = a \cdot b \cdot hV=a⋅b⋅h
Yüzey Alanı:
A=2(ab+ah+bh)A = 2(ab + ah + bh)A=2(ab+ah+bh)
Açıklama: Dikdörtgenler prizması, günlük hayatımızda kutular gibi sık karşılaştığımız bir geometrik şekildir. Bu formüller, hem prizmanın hacmini hem de dış yüzey alanını hesaplamak için kullanılır.
b. Piramit Hacmi
Hacim:
V=13⋅Taban Alanı⋅Yu¨kseklikV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik}V=31​⋅Taban Alanı⋅Yu¨kseklik
Açıklama: Piramitlerin hacmi, prizmalardan farklı olarak üçte bir oranına sahiptir. Yükseklik, tabandan tepe noktasına olan dik mesafedir.
c. Paralelkenar Alanı
Alan:
A=a⋅hA = a \cdot hA=a⋅h
Açıklama: Bir paralelkenarın alanını bulmak için herhangi bir kenarını (tabanı) ve bu kenara ait yüksekliği kullanırsın.

33. İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafiği

a. Tepe Noktası ve Simetri Doğrusu: İkinci dereceden bir fonksiyonun (y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c) grafiği bir paraboldür.
Tepe noktası:
x=−b2a,y=f(−b2a)x = -\frac{b}{2a}, \quad y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)x=−2ab​,y=f(−2ab​)
Simetri doğrusu:
x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​
Açıklama: Bu bilgiler, parabolün şeklini ve grafik üzerindeki en yüksek veya en düşük noktasını anlamanı sağlar.

34. Dörtgenlerin İç Açıları

İç Açılar Toplamı:
(n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ(n−2)⋅180∘
Bir Dörtgenin İç Açılar Toplamı:
360∘360^\circ360∘
Açıklama: Bir çokgenin köşelerindeki açıların toplamını bulmak için bu formülü kullanırsın.

35. Çarpanlara Ayırma (Polinomlar)

a. Tam Kare Üç Terim:
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2
b. İki Kare Farkı:
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)a2−b2=(a−b)(a+b)
c. Üç Terim:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
Açıklama: Bu formüller, denklemleri sadeleştirmek, çarpanlara ayırmak ve kök bulmak için kullanılır.

36. Üslü Sayılar

a. Temel Üslü Sayı Kuralları:
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}am⋅an=am+n aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}anam​=am−n (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n a0=1,a−n=1ana^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}a0=1,a−n=an1​
b. Üslü Denklemler: Eğer tabanlar eşitse:
am=an  ⟹  m=na^m = a^n \implies m = nam=an⟹m=n

37. Mutlak Değer

Temel Kural:
∣x∣={x,eg˘er x≥0−x,eg˘er x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \end{cases}∣x∣={x,−x,​eg˘​er x≥0eg˘​er x<0​
Mutlak Değer Eşitsizlikleri:
Eğer ∣x∣−aEğer ∣x∣>a|x| > a∣x∣>a, o zaman:
x<−a veya x>ax < -a \text{ veya } x > ax<−a veya x>a
Açıklama: Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır. Özellikle eşitsizlik problemlerinde çok sık kullanılır.

38. Oran ve Orantı

Temel Formül: İki oranın eşitliği:
ab=cd  ⟹  ad=bc\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bcba​=dc​⟹ad=bc
Doğru ve Ters Orantı:
Doğru orantı:
x∝y  ⟹  xy=kx \propto y \implies \frac{x}{y} = kx∝y⟹yx​=k
Ters orantı:
x∝1y  ⟹  x⋅y=kx \propto \frac{1}{y} \implies x \cdot y = kx∝y1​⟹x⋅y=k
Açıklama: Oran ve orantı problemleri, günlük hayatta karşılaşılan paylaşım ve karşılaştırma sorularında işine yarar.

39. Eğim ve Doğru Denklemi

Eğim Formülü: Eğer doğru, (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) ve (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​) noktalarından geçiyorsa:
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}m=x2​−x1​y2​−y1​​
Doğru Denklemi (Eğim Nokta Formu): Bir doğru, (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) noktasından geçiyor ve eğimi mmm ise:
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)y−y1​=m(x−x1​)
Açıklama: Bu formüller, doğruların grafiğini çizmek ve iki nokta arasındaki ilişkiyi analiz etmek için kullanılır.

40. Çemberin Uzunluğu ve Alanı

Çemberin Uzunluğu:
C=2πrC = 2\pi rC=2πr
Çemberin Alanı:
A=πr2A = \pi r^2A=πr2
Açıklama: Çemberin çevresi ve alanı, geometri problemlerinde sıkça karşına çıkacak temel konulardandır.

41. Trigonometrik Temel Bağıntılar

a. Temel Trigonometrik Kimlikler:
sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1sin2(x)+cos2(x)=1 1+tan⁡2(x)=sec⁡2(x)1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)1+tan2(x)=sec2(x) 1+cot⁡2(x)=csc⁡2(x)1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)1+cot2(x)=csc2(x)
b. Trigonometrik Oranlar:
sin⁡(x)=kars¸ı kenarhipotenu¨s,cos⁡(x)=koms¸u kenarhipotenu¨s,tan⁡(x)=kars¸ı kenarkoms¸u kenar\sin(x) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}, \quad \cos(x) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}, \quad \tan(x) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}sin(x)=hipotenu¨skars¸​ı kenar​,cos(x)=hipotenu¨skoms¸​u kenar​,tan(x)=koms¸​u kenarkars¸​ı kenar​
Açıklama: Bu temel bağıntılar, üçgenler üzerinde çalışırken veya trigonometri problemlerini çözerken çok önemlidir. Ayrıca ileri konularda kimlikleri sadeleştirmek için de sık kullanılır.

42. Permütasyon ve Kombinasyon

a. Permütasyon:
P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!​
b. Kombinasyon:
C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!(n−r)!n!​
Açıklama: Permütasyon, sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılır; kombinasyon ise sıralamanın önemsiz olduğu seçimlerde işe yarar. Örneğin, bir sınıftan 3 kişi seçmek kombinasyon ile; bu kişilere sıralama vermek permütasyon ile hesaplanır.

43. Polinomlar

a. Polinomlarda Derece: Bir polinomun derecesi, en yüksek dereceli terimin kuvvetine eşittir. Örneğin:
P(x)=4x3+2x2+x+5  ⟹  Derece=3P(x) = 4x^3 + 2x^2 + x + 5 \implies \text{Derece} = 3P(x)=4x3+2x2+x+5⟹Derece=3
b. Polinomlarda Kök ve Çarpan İlişkisi: Bir polinom P(x)P(x)P(x), x=ax = ax=a köküne sahipse:
P(a)=0P(a) = 0P(a)=0
Polinom bu köke göre çarpanlarına ayrılabilir:
P(x)=(x−a)⋅Q(x)P(x) = (x-a) \cdot Q(x)P(x)=(x−a)⋅Q(x)
c. Kalan Bulma: Bir polinom P(x)P(x)P(x), (x−a)(x-a)(x−a) ile bölündüğünde kalan:
K=P(a)K = P(a)K=P(a)

44. Olasılık

a. Temel Olasılık Formülü: Bir olayın olma olasılığı:
P(A)=I˙stenen Durum SayısıTu¨m Durumların SayısıP(A) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}}P(A)=Tu¨m Durumların SayısıI˙stenen Durum Sayısı​
b. Bağımsız Olaylar: Eğer AAA ve BBB bağımsız olaylar ise:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)
c. Birleşim Olasılığı (Kesişimsiz Olaylar):
P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)P(A∪B)=P(A)+P(B)
Eğer olaylar kesişiyorsa:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

45. Dizi ve Seriler

a. Aritmetik Dizi: Bir aritmetik dizide ardışık iki terim arasındaki fark sabittir (ddd).
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)dan​=a1​+(n−1)d
Toplam:
Sn=n2⋅(a1+an)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)Sn​=2n​⋅(a1​+an​)
b. Geometrik Dizi: Bir geometrik dizide ardışık iki terim arasındaki oran sabittir (rrr).
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}an​=a1​⋅rn−1
Toplam (r≠1r \neq 1r=1):
Sn=a1⋅1−rn1−rS_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}Sn​=a1​⋅1−r1−rn​
Açıklama: Bu formüller, dizilerin elemanlarını bulmak veya toplamlarını hesaplamak için kullanılır.

46. Logaritma

a. Logaritmanın Tanımı:
log⁡a(b)=c  ⟹  ac=b\log_a(b) = c \implies a^c = bloga​(b)=c⟹ac=b
b. Logaritma Kuralları:
log⁡a(mn)=log⁡a(m)+log⁡a(n)\log_a(mn) = \log_a(m) + \log_a(n)loga​(mn)=loga​(m)+loga​(n) log⁡a(mn)=log⁡a(m)−log⁡a(n)\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a(m) - \log_a(n)loga​(nm​)=loga​(m)−loga​(n) log⁡a(mk)=k⋅log⁡a(m)\log_a(m^k) = k \cdot \log_a(m)loga​(mk)=k⋅loga​(m)
Açıklama: Logaritma, üslü ifadeleri çözmek ve sadeleştirmek için kullanılır. Özellikle büyük sayıları işlemekte çok işe yarar.

47. İkinci Dereceden Denklemler

a. Kökler Formülü: Bir ikinci dereceden denklem (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0) için kökler:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​
b. Diskriminant (Δ\DeltaΔ):
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac
Eğer Δ>0\Delta > 0Δ>0: İki farklı reel kök.
Eğer Δ=0\Delta = 0Δ=0: Çift kat reel kök.
Eğer Δ<0\Delta < 0Δ<0: Reel kök yok.
Açıklama: Bu formüller, ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak için temel araçlardır.

48. Doğrunun Analitik Denklemi

a. Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi: Bir doğru (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) noktasından geçiyor ve eğimi mmm ise:
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)y−y1​=m(x−x1​)
b. İki Noktası Bilinen Doğru: Eğer doğru (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) ve (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​) noktalarından geçiyorsa:
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}m=x2​−x1​y2​−y1​​
Doğru denklemi:
y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)y−y1​=x2​−x1​y2​−y1​​(x−x1​)
Açıklama: Bu formüller, analitik geometri sorularında sıkça kullanılır.

49. Alan Hesapları

a. Üçgenin Alanı:
Alan=12⋅Taban⋅Yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}Alan=21​⋅Taban⋅Yu¨kseklik
b. Koordinat Düzleminde Üçgen Alanı: Eğer üçgenin köşeleri (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​), (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​), (x3,y3)(x_3, y_3)(x3​,y3​) ise:
Alan=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|Alan=21​∣x1​(y2​−y3​)+x2​(y3​−y1​)+x3​(y1​−y2​)∣
Açıklama: Bu formüller, düzlemde veya üçgende alan hesaplama problemlerinde kullanılır.

50. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel Fonksiyonlar:
Bir üstel fonksiyonun genel formu:
y=ax,(a>0 ve a≠1)y = a^x, \quad (a > 0 \text{ ve } a \neq 1)y=ax,(a>0 ve a=1)
Taban büyüdükçe: Fonksiyon daha hızlı artar.
a>1a > 1a>1: Artan bir fonksiyon.

0

Logaritmik Fonksiyonlar:
Bir logaritmik fonksiyonun genel formu:
y=log⁡a(x),(a>0 ve a≠1)y = \log_a(x), \quad (a > 0 \text{ ve } a \neq 1)y=loga​(x),(a>0 ve a=1)
Taban büyüdükçe: Fonksiyon daha yavaş artar.
Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir: y=log⁡a(x)  ⟹  ay=xy = \log_a(x) \implies a^y = xy=loga​(x)⟹ay=x

51. Karmaşık Sayılar

a. Karmaşık Sayının Temel Özellikleri: Bir karmaşık sayı zzz, genellikle şu şekilde yazılır:
z=a+bi,burada i2=−1z = a + bi, \quad \text{burada } i^2 = -1z=a+bi,burada i2=−1
aaa: Gerçek kısım.
bbb: Sanal kısım.
b. Karmaşık Sayının Modülü:
∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}∣z∣=a2+b2​
c. Karmaşık Sayının Eşleniği: Eşlenik:
z=a+bi  ⟹  zˉ=a−biz = a + bi \implies \bar{z} = a - biz=a+bi⟹zˉ=a−bi
Karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı:
z⋅zˉ=a2+b2z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2z⋅zˉ=a2+b2
Açıklama: Karmaşık sayılar, ikinci dereceden denklemlerde reel kök bulunamadığında devreye girer.

52. Çemberde Açı ve Yay Uzunluğu

a. Çemberde Merkez Açı: Merkez açının gördüğü yay uzunluğu:
Yay Uzunlug˘u=α360∘⋅2πr\text{Yay Uzunluğu} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi rYay Uzunlug˘​u=360∘α​⋅2πr
b. Çemberde Alan Dilimi: Bir çember diliminin alanı:
Alan Dilimi=α360∘⋅πr2\text{Alan Dilimi} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2Alan Dilimi=360∘α​⋅πr2
Açıklama: Bu formüller, çemberle ilgili problemlerde yay uzunluğu ve alan hesaplamalarını kolaylaştırır.

53. Parabol ve Odak

Bir parabolun genel denklemi:
y2=4pxveyax2=4pyy^2 = 4px \quad \text{veya} \quad x^2 = 4pyy2=4pxveyax2=4py
Odak: (p,0)(p, 0)(p,0) veya (0,p)(0, p)(0,p).
Doğru Parçası: Odak noktasına dik ve ∣4p∣|4p|∣4p∣ uzunluğundadır.
Açıklama: Parabol denklemleri, geometri ve analitik geometri problemlerinde çok sık kullanılır.

54. Trigonometrik Dönüşümler

a. Toplam ve Fark Formülleri:
sin⁡(a±b)=sin⁡(a)cos⁡(b)±cos⁡(a)sin⁡(b)\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) cos⁡(a±b)=cos⁡(a)cos⁡(b)∓sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)cos(a±b)=cos(a)cos(b)∓sin(a)sin(b) tan⁡(a±b)=tan⁡(a)±tan⁡(b)1∓tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a)\tan(b)}tan(a±b)=1∓tan(a)tan(b)tan(a)±tan(b)​
b. Çift ve Yarım Açı Formülleri:
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x) cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)cos(2x)=cos2(x)−sin2(x) tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan⁡2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}tan(2x)=1−tan2(x)2tan(x)​
Açıklama: Bu dönüşümler, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve eşitlikleri çözmek için kullanılır.

55. Alan ve Çevre Hesapları

a. Düzgün Çokgenlerin Alanı:
Bir düzgün çokgenin alanı:
A=12⋅n⋅a⋅rA = \frac{1}{2} \cdot n \cdot a \cdot rA=21​⋅n⋅a⋅r
nnn: Kenar sayısı.
aaa: Bir kenarın uzunluğu.
rrr: Çokgenin çevrel çemberinin yarıçapı.
b. Koordinat Düzleminde Alan:
Eğer üçgenin köşeleri (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​), (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​), (x3,y3)(x_3, y_3)(x3​,y3​) ise:
Alan=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|Alan=21​∣x1​(y2​−y3​)+x2​(y3​−y1​)+x3​(y1​−y2​)∣
Açıklama: Bu formüller, çokgenlerin alanını ve çevresini hesaplamak için işine yarar.

56. Eğim ve Paralellik

a. Doğrunun Eğimi: Eğer doğru (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) ve (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​) noktalarından geçiyorsa:
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}m=x2​−x1​y2​−y1​​
b. Paralel ve Dik Doğrular:
İki doğru paralelse:
m1=m2m_1 = m_2m1​=m2​
İki doğru dikse:
m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1m1​⋅m2​=−1
Açıklama: Bu formüller, doğrular arasındaki ilişkiyi bulmak için kullanılır.